A História da Teoria das Probabilidades se dá por volta do século XVII, quando os comerciantes mesopotâmicos e fenícios criaram o pagamento de seguros e anuidades pelas mercadorias, devido ao prejuízo no roubo e no naufrágio de suas cargas. Gregos, romanos e italianos seguiram a mesma estratégia. Os cálculos utilizados para determinar os valores a serem pagos, eram baseados na probabilidade de ocorrência de acidentes, como os citados roubos e naufrágios.
Experimento Aleatório
Um experimento pode ser identificado pela letra (E), e é bastante utilizado na descrição de algum processo que gerou resultado. Para exemplificar esse conceito, basta imaginar uma carta do baralho e observar o seu naipe. Esse ato gerou um resultado, por exemplo. O mesmo acontece se jogarmos uma moeda ou um dado homogêneo e observar o número da face superior. Todos esses experimentos têm algo em comum: são aleatórios.
O que são experimentos aleatórios?
Como os resultados obtidos nos três exemplos acima citados são incertos, os designamos como aleatórios, mesmo que haja um prévio conhecimento de todos os resultados possíveis. Os experimentos aleatórios têm como principal característica o fato de ocorrer repetição, com condições inalteradas, não conduzindo ao mesmo resultado, necessariamente.
Ou seja, para o reconhecimento de um experimento aleatório, é fundamental que exista a possibilidade dele ser repetido indefinidamente, sob as mesmas condições; que não se conheça, no primeiro momento, os seus resultados, mas que suas possibilidades possam descritas.
Quando houver uma grande quantidade de vezes que um experimento for repetido, surgirá a seguinte fração que indica estabilidade: f = r/n (a lei dos Grandes Números). A formulação de um modelo matemático que possa fazer previsões dos futuros resultados pode se realizada através dessa regularidade.
Representação:
n – número de repetições
r – número de sucessos de um resultado particular
f – frequência relativa
Espaço Amostral
Dentro de um experimento aleatório, existe um conjunto de todos os resultados possíveis. A esse conjunto dá-se o nome de Espaço Amostral, simbolizado por (S).
No caso do dado, baralho e moeda, designados como experimento 1 (E1), 2 (E2) e 3 (E3), podemos obter os seguintes resultados:
S1={1,2,3,4,5,6}
S2={copas, paus, espada, ouro}
S3={cara, coroa}
Elemento, membro ou ponto amostral são denominações dadas para os resultados individuais de S. È possível listar os elementos de um espaço amostral, caso ele seja finito. Quando se obtém os resultados de um experimento (E), eles podem ser descritos dentro de mais de um espaço amostral.
Evento
Dentro do espaço amostral (E), temos um subconjunto que recebe o nome de evento. Por exemplo, ao jogarmos um dado, obtemos o experimento E=jogar um dado. Logo, o seu espaço amostral é: S={1,2,3,4,5,6}. O evento ocorre, quanto estamos interessados em um subgrupo, por exemplo, ocorrer um número par. Logo, o nosso evento A={2,4,6}
Tipos de Eventos
Os eventos podem ser classificados em:
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Evento nulo ou impossível
B={x| x é par e divisor de 7}
Nessa caso, não existem números pares que sejam divisores de 7, pois os únicos são 1 e 7. Logo, esse evento B é nulo ou = Ø
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Evento certo
Seja o evento E=jogar um dado, temos as seguintes possibilidades de resultados no espaço amostral: S={1,2,3,4,5,6} e se propõe a encontrar um número natural de 1 a 6, o evento é certo, pois A={x| x é um número natural de 1 a 6}.
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(A') Complemento do Evento A
Mantendo-se o experimento de se jogar um dado (E), obtemos o seguinte espaço amostral S={1,2,3,4,5,6}. Se o evento A=o número é par, então obtemos A={2,4,6}. Logo, seu evento complementar será A'={1,3,5}, ou seja, o conjunto de elementos de S que não se encontram em A.
-
Eventos e operações
Para se gerar novos eventos, é possível considerarmos a realização de operações. Esses novos eventos serão também subconjuntos do mesmo espaço amostral (S).
E=jogar um dado
Eventos: A, B, C {(A) – o número é par, (B) – o número é maior que 3, (C) – o número é ímpar}, logo:
S={1,2,3,4,5,6}
A={2,4,6}
B={4,5,6}
C{1,3,5}
O evento que contém todos os elementos que são comuns entre outros dois eventos, é chamado de interseção. A Interseção entre esses grupos se configura da seguinte forma:
A ∩ B = {4,6}
B ∩ C = {5}
A ∩ C = Ø
Neste caso, os eventos A e C são mutuamente exclusivos.
O evento que contém elementos que sejam pertencentes aos dois outros eventos, é chamado de união. A União entre esses grupos se configura da seguinte forma:
A U B = {2,4,5,6}
AUC = {1,2,3,4,5,6}
Neste caso, A=C'
Probabilidade de um evento
Quando expressamos um resultado que não é certo, mas que com base em acontecimentos passados ou compreendendo o fenômeno estruturalmente é possível gerar certo grau de confiança em uma afirmação, criamos a probabilidade de um evento.
Técnicas de Contagem dos Pontos do Espaço Amostral
A contagem dos possíveis resultados dentro de um espaço amostral pode ser, por vezes, muito trabalhosa. Para facilitar a contagem, a análise combinatória foi desenvolvida com as técnicas de contagem indireta, que acontece da seguinte maneira:
No princípio fundamental da contagem, se um acontecimento é composto por duas etapas sucessivas e se a relação entre as duas for de independência, onde a etapa 1 pode ocorrer de n modos e a 2 de m modos, para obtermos o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento, basta multiplicarmos n por m.
Probabilidade Condicional
Utilizando mais uma vez o exemplo do experimento E: lançamento do dado e seu espaço amostral S={1,2,3,4,5,6}, onde temos o evento A: sair o nº 3 ao verificar o resultado, obtemos a seguinte probabilidade: P(A) = 1/6
Agora, se pegarmos o evento B={sair um número ímpar} = {1,3,5}, a probabilidade de P(A) será de 1/3.
Dá-se o nome de probabilidade condicional quando o mesmo reavaliar a probabilidade de ocorrência de um evento, dado que outro ocorre. Por exemplo, a probabilidade P(A/B) é uma “atualização” de P(A), contanto que o evento B tenha ocorrido.
Independência Estatística
Define-se independência estatística quando dois eventos (A e B) são independentes, ou seja, se P(A∩B) = P(A) . P(B).
Complemente seus estudos com as apostilas sobre Introdução à Estatística e Noções Básicas de Estatística .
