Fazer concurso público todos podem fazer, independente de satisfazerem ou não todas as exigências do edital. Mas na hora de tomar posse, em algumas instituições, como por exemplo a Polícia Federal, há verificação dos antecedentes criminais do candidato e também da sua situação no SPC e no SERASA.
Geralmente, essa não é uma exigência dos órgãos. No caso de dúvidas, basta ler o edital do concurso e a Lei nº 8.112, relativa a lei geral do servidor público.